מבחן מיצב כיתה ח תשע"א פתרון שאלה מס' 24 – דמיון משולשים

מלבן חסום במשולש ישר זוית

לפניכם משולש ישר-זווית ABC. .
BDFE הוא מלבן החסום במשולש.

א. הַסבירו מדוע המשולשים ADF ו- ABC דומים. 

המשולשים ABC, ADF הם בעלי זויות שוות ולכן הם דומים.
נוכיח שזויותיהן שוות.

1. זוית A משותפת לשני המשולשים
2. DF מקביל ל- BE – צלעות נגדיות במלבן מקבילות
3. זוית B = זוית ADF = זוית ישרה
4. מ- 1 ו- 3 נובע כי במשולשים  ADF ו- ABC שתיים מזויותיהן שוות ולכן גם השלישית שווה (משלימה ל- 180 מעלות) ולכן המשולשים דומים.

ב. נתון גם:
5 ס"מ = DF
15 ס"מ = BC
18 ס"מ = AB
ב1. מה יחס הדמיון בין המשולשים: ABC , ADF?

יחס הדימיון בין שני משולשים דומים, הוא היחס בין צלע במשולש אחד לצלע המתאימה (מול הזוית השווה) במשולש השני.
לדוגמה זוית A שווה (משותפת) לשני המשולשים, זוית A מול הצלע DF במשולש ADF, וזוית A מול הצלע BC במשולש ABC, לכן יחס הדמיון הוא היחס בין DF ל- BC או 5/15 = 1/3.

ב2. מה שטח המלבן BDFE? הַציגו את דרך הפתרון:
 יחס הדמיון בין משולש ADF למשולש ABC הוא 1/3 , זהו היחס בין צלעות המשולשים, לכן:
AD/AB = 1/3
נציב: AB = 18 מהנתון, ונקבל:
AD/18 = 1/3
AD = 18/3 = 6
אורך הצלע BD של המלבן BDFE הוא:  BD = AB – AD = 18 – 6 = 12
אורך הצלע DF של המלבן: DF = 5 – נתון


השטח S של המלבן BDFE שווה למכפלת צלעות סמוכות, לכן: S = BD * DF = 5 * 12 = 60
שטח המלבן BDFE הוא 60 סמ"ר.