הוכחת משפט בגיאומטריה: מקבילית שבה האלכסונים שווים זה לזה היא מלבן

מלבן עם אלכסונים

נתון
מרובע ABCD מקבילית: AB||CD , AD||BC
אלכסוני המקבילית שווים: AC = BD

צריך להוכיח
מרובע ABCD – מלבן

הוכחה
נוכיח חפיפת משולשים ABC , BCD :
AB = CD – צלעות נגדיות במקבילית שוות
BC = BC – צלע משותפת
AC = BD – נתון
מכאן: משולשים ABC , BCD חופפים – צ.צ.צ

מהחפיפה נובע:
1. – מול צלעות שוות במשולשים חופפים מונחות זוויות שוות
2. אך: – סכום זוויות חד צדדיות פנימיות במקבילית שווה 180 מעלות

לכן: – נובע מ- 1,2
באותה דרך מוכיחים כי

מכאן כל זוויות המרובע ABCD ישרות, וצלעותיו הנגדיות שוות (במקבילית צלעות נגדיות שוות)
לכן מרובע ABCD מלבן

מ.ש.ל

קישורים:

• במקבילית כל זוג זוויות נגדיות שוות
• במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה
• במקבילית כל זוג צלעות נגדיות שוות
• במקבילית כל זוג זוויות סמוכות סכומן 180
• אם במרובע כל זוג זווית נגדיות שוות המרובע הוא מקבילית
• אם במרובע כל זוג צלעות נגדיות שוות המרובע הוא מקבילית
• אם במרובע האלכסונים חוצים זה את זה המרובע הוא מקבילית
• אם במרובע קיים זוג צלעות נגדיות שוות ומקבילות אזי המרובע הוא מקבילית