הוכחת משפט בגיאומטריה – אם במרובע קיים זוג צלעות נגדיות שוות ומקבילות אזי המרובע הוא מקבילית

נתון:

מרובע ABCD
AD = BC , AD||BC

צריך להוכיח:
ABCD מקבילית, כלומר AB||CD

הוכחה
בניית עזר – בונים את אלכסוני המרובע AC, BD
נוכיח חפיפת משולשים AOD, BOC
AD = BC – נתון
– פנימיות מתחלפות, מקבילים AD||BC , חותך AC
– פנימיות מתחלפות, מקבילים AD||BC , חותך BD
מכאן, משולשים AOD, BOC חופפים, ז.צ.ז

מהחפיפה נובע:
AO = CD , BO = DO מול זוויות שוות במשולשים חופפים מונחות צלעות שוות
כלומר האלכסונים AC, BD של המרובע ABCD חוצים זה את זה

מכאן מרובע ABCD מקבילית – אם במרובע האלכסונים חוצים אחד את השני המרובע הוא מקבילית
מכאן AB||CD

מ.ש.ל