בעיה פתורה בגיאומטריה עם משפט חוצה זווית ומשפט תאלס הפוך

נתון:
משולש ABC
AD הוא תיכון לצלע BC.
DE חוצה את הזווית ADB.
DF חוצה את הזווית ADC.

הוכח:
EF || BC (מקביל).

נוכיח באמצעות משפט חוצה זווית במשולשים ADC, ו- ABD, ותיכון לצלע BC, יחסים שווים בקטעים AF, CF ו- AE, BE. ובעזרת משפט תאלס הפוך נראה מקבילות EF ו – BC.

הוכחה:
1. AF/FC = AD/CD – ע"פ משפט חוצה זווית – FD הוא חוצה זווית במשולש ADC ומחלק את הצלע מול הזווית אותה חוצה לקטעים פרופורציונים לצלעות AD, CD
2. באופן דומה מוכיחים AE/BE = AD/BD
3. BD = CD – נתון – AD הוא תיכון לצלע BC.
4. AD/BD = AD/CD – נובע מ- 3
5. AE/BE = AF/FC – נובע מ- 1,2, 4
6. EF || BC – נובע מ-5 ומשפט תאלס הפוך – שני ישרים המקצים על שוקי זוית קטעים פרופורציונים – מקבילים זה לזה.

מ.ש.ל