חידה מתמטית – ריבוע חסום במשולש

נתון משולש ABC בעל אורכי צלעות 10, 17, 21 כמתואר בסקיצה. ריבוע חסום בתוך המשולש. מצא אורך מצלע הריבוע d.

פתרון:
ע"פ נוסחת הרון ניתן למצוא שטח משולש A ע"פ אורכי צלעותיו:
נוסחת הרון לשטח A :

לכן במקרה שלנו:
s = (10 + 17 + 21) /2
s = 48/2 = 24

ולכן שטח המשולש A:

לכן הגובה h מהנקודה A לצלע BC:
A = 21h/2 = 84
h = 8
נניח עתה כי d הוא אורך צלע הריבוע, לכן המשולשים ABC והמשולש (צבע כחול) הנוצר מצלע ריבוע עליונה דומים. מדמיון משולשים נובע היחס:

מכאן אורך צלע הריבוע d = 168/29