הוכחת משפט בגיאומטריה: האלכסון הראשי בדלתון חוצה את האלכסון המשני ומאונך לו

נתון דלתון ABCD שבו AB = AD, BC = CD
AC – אלכסון ראשי בדלתון
BD – אלכסון משני

צריך להוכיח:
1. BO = DO
2. AD מאונך ל- BD

הוכחה:

נחפוף את משולשים ABO ו- ADO:
1. זוית A1 = זוית A2 – אלכסון ראשי בדלתון חוצה את זויות החוד
2. AB = AD – נובע מהגדרת הדלתון
3. זוית ABO = זוית ADO – זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים ABD
מכאן נובע:
משולש ABO חופף למשולש ADO – ז.צ.ז , זהויות 1, 2, 3

מהחפיפה נובע:
BO = DO – מ.ש.ל 1

4. זוית O1 = זוית O2
5. מאחר והזוויות O1, O2 צמודות סכומן 180 מעלות

6. זוויות O1, O2 ישרות – נובע מ- 1,2 – זוויות שוות שסכומן 180 מעלות חייבות להיות ישרות

מכאן: AD מאונך ל- BD

מ.ש.ל 2